Cartesian Product

定义 Definition

笛卡尔积：在集合论中，两个集合 (A) 和 (B) 的笛卡尔积记作 (A \times B)，表示所有有序对 ((a,b)) 的集合，其中 (a \in A)，(b \in B)。它常用于描述“所有可能的组合/配对”，并为坐标系、关系、函数与数据库连接等概念提供基础。

发音 Pronunciation

/ kɑrˈtiʒən ˈprɑdʌkt /

例句 Examples

Let (A={1,2}) and (B={x,y}); then (A \times B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}).
设 (A={1,2})，(B={x,y})；则 (A \times B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)})。

In mathematics and computer science, the Cartesian product is used to model all possible pairs of inputs when analyzing combinations or defining relations between sets.
在数学与计算机科学中，笛卡尔积常用来建模在分析组合或定义集合之间关系时的所有可能输入配对。

词源 Etymology

Cartesian 来自法国哲学家、数学家 René Descartes（笛卡尔） 的拉丁化形式 Cartesius，意为“与笛卡尔相关的”。“Cartesian product（笛卡尔积）”之名与笛卡尔坐标系的思想有关：把两个维度的取值配对成点 ((x,y))。product 在这里是数学意义上的“积/构造结果”，表示由两个集合“组合”得到的新集合。

相关词 Related Words

• Ordered Pair
• Set
• Relation
• Function
• Coordinate
• Tuple
• Combinatorics
• Domain
• Range
• Cross Join

文学与经典著作 Literary Works

• Naive Set Theory（Paul R. Halmos）——用笛卡尔积讲解关系与函数的基础构造。
• Elements of Set Theory（Herbert B. Enderton）——系统讨论集合运算，包括笛卡尔积与有序对的定义。
• Set Theory and Its Logic（Willard Van Orman Quine）——在更逻辑化的框架下使用笛卡尔积来表达关系结构。
• Concrete Mathematics（Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik）——在计数与离散结构语境中涉及“所有配对/组合”的笛卡尔积思想。